Question

解三元二次方程组

x(y+z-x)=18-2x2 y(z+x-y)=27-2y2 z(x+y-z)=36-2z2

．

Answer 1

考点：高次方程

专题：计算题

分析：先把原方程变形为

xy+xz=18-x2① yz+xy=27-y2② xz+yz=36-z2③

，再由②-①后整理得（y-x）（x+y+z）=9，③-②后整理得（z-y）（x+y+z）=9，则（y-x）（x+y+z）=（z-y）（x+y+z），易得x+y+z=0时，方程①无解，所以y-x=z-y，即x+z=2y④，然后把④代入②得y•2y=27-y²，解得y=3或-3；当y=3时，z=6-x，
把y=3，z=6-x代入①可解得x=2，则z=4；同理当y=-3时，x=-2，z=-4，最后写出原方程组的解．

解答：解：方程变形为

xy+xz=18-x2① yz+xy=27-y2② xz+yz=36-z2③

，
②-①得yz-xz=9-y²+x²，
整理得（y-x）（x+y+z）=9，
③-②得xz-xy=9-z²+y²，
整理得（z-y）（x+y+z）=9，
所以（y-x）（x+y+z）=（z-y）（x+y+z），
当x+y+z=0时，把y+z=-x代入①，方程无解，
所以y-x=z-y，即x+z=2y④，
把④代入②得y•2y=27-y²，解得y=3或-3；
当y=3时，x+z=6，则z=6-x，
把y=3，z=6-x代入①得3x+x（6-x）=18-x²，解得x=2，
所以z=6-2=4；
当y=-3时，x+z=-6，则z=-6-x，
把y=-3，z=-6-x代入①得-3x+x（-6-x）=18-x²，解得x=-2，
所以z=-6+2=-4，
所以原方程组的解为

x=2 y=3 z=4

或

x=-2 y=-3 z=-4

．

点评：本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．