Question

点P（x，y）在第一象限，且x+y=10，点A的坐标为（8，0），设原点为O，△OPA的面积为S．
（1）求S与x的函数关系式，写出x的取值范围，画出这个函数图象；
（2）当S=12时，求点P的坐标；
（3）△OPA的面积能大于40吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根据S＞0及已知条件，可求出x的取值范围，根据一次函数的性质可画出函数S的图象；
（2）将S=12代入求得的函数的解析式，然后求得x、y的值，从而求得点P的坐标；
（3）根据一次函数的性质及自变量的取值范围即可判断．

解答：解：（1）∵A和P点的坐标分别是（8，0）、（x，y），
∴△OPA的面积=

1

2

OA•|y_P|，
∴S=

1

2

×8×|y|=4y．
∵x+y=10，∴y=10-x．
∴S=4（10-x）=40-4x；
∵S=-4x+40＞0，
解得：x＜10；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范围为：0＜x＜10；
∵S=-4x+40，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点（10，0），（0，40）．
所画图象如下：


（2）∵S=-4x+40，
∴当S=12时，12=-4x+40，
解得：x=7，y=3．
即当点P的坐标为（7，3）；

（3）△OPA的面积不能大于40．理由如下：
∵S=-4x+40，-4＜0，
∴S随x的增大而减小，
又∵x=0时，S=40，
∴当0＜x＜10，S＜40．
即△OPA的面积不能大于40．

点评：此题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确地求出S与x的关系，另外作图的时候要运用两点作图法，并且注意自变量的取值范围．