Question

12．已知在△ABC中，点D，E分别在线段AB，BC上，DE⊥BC于E，点P在直线AB上运动，PF⊥BC于F（点F不与B，C重合），过点F作FG∥AB，交直线AC于G．
（1）如图1，当点P在线段AB上时，求证：∠BDE=∠PFG；
（2）如图2，当点P在AB的延长线上时，按要求将图补充完整，并说明∠BDE和∠PFG之间的数量关系．
（3）当点P在BA的延长线上时，请直接写出∠BDE和∠PFG的数量关系：∠BDE=∠PFG．

Answer 1

分析 （1）理由平行线的性质、等量代换即可证明；
（2）如图2中，结论：∠PFG+∠BDE=180°．利用平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，结论：∠PFG=∠BDE．利用平行线的性质即可证明；

解答 （1）证明：如图1中，

∵DE⊥BC，PF⊥BC，
∴DE∥PF，
∴∠BDE=∠BPF，
∵FG∥AB，
∴∠BPF=∠PFG，
∴∠BDE=∠PFG．

（2）解：如图2中，结论：∠PFG+∠BDE=180°．

理由：∵DE⊥BC，PF⊥BC，
∴DE∥PF，
∴∠BDE=∠BPF，
∵FG∥AP，
∴∠BPF+∠PFG=180°，
∴∠PFG+∠BDE=180°．


（3）解：如图3中，结论：∠PFG=∠BDE．

理由：∵DE⊥BC，PF⊥BC，
∴DE∥PF，
∴∠BDE=∠BPF，
∵FG∥AB，
∴∠BPF=∠PFG，
∴∠BDE=∠PFG．
故答案为∠BDE=∠PFG．

点评 本题考查三角形综合题、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确画出图形解决问题，属于中考常考题型．