Question

10．如图所示是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），二次函数图象对称轴为直线x=1，给出五个结论：①bc＞0；②a+b+c＜0；③当x＜1时，y随x的增大而增大；④方程ax²+bx+c=0的根为x₁=-1，x₂=3；⑤4a-2b+c＞0其中正确结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 通过观察图象，①二次函数图象的对称轴为直线x=1，所以x=-$\frac{b}{2a}$=1＞0，又因为二次函数的开口向下，得出a＜0，所以b＞0，二次函数与y轴交于x轴上方，所以c＞0，得出bc＞0；
②由图象可看出当x=1时，y=a+b+c＞0；
③根据二次函数的单调性进行判断；
④因为对称轴为x=1，且方程的一个根为x₂=3，另一个根x₁=-1；
⑤因为二次函数与x轴的两个交点是（-1，0）（3，0），且开口向下，所以当x=-2时，y=4a-2b+c＜0．

解答 解：①由图象可看出抛物线的开口向下，∴a＜0，由对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1＞0，得b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，即得bc＞0，∴①正确．
②由图象可看出当x=1时，y=a+b+c＞0，∴②不正确．
③有对称轴x=1，及二次函数的单调性，当x＜1时，y随着x的增大而增大③正确．
④因为对称轴为x=1，且方程的一个根为x₂=3，∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，另一个根x₁=-1，④正确．
⑤因为二次函数与x轴的两个交点是（-1，0）（3，0），且开口向下，∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，⑤不正确．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，是二次函数的综合题型，是一道数形结合题，要熟悉二次函数的性质，观察图形，得出正确结论．