题目内容
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=| 2 |
，这时我们把关于x的形如ax2+| 2 |
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+
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（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+
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分析：（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
解答：（1）解：当a=3，b=4，c=5时
勾系一元二次方程为3x2+5
x+4=0；
（2）证明：根据题意，得
△=（
c）2-4ab=2c2-4ab
∵a2+b2=c2
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+
cx+b=0必有实数根；
（3）解：当x=-1时，有a-
c+b=0，即a+b=
c
∵2a+2b+
c=6
，即2（a+b）+
c=6
∴3
c=6
∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC=
ab=1．
勾系一元二次方程为3x2+5
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（2）证明：根据题意，得
△=（
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∵a2+b2=c2
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+
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（3）解：当x=-1时，有a-
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∵2a+2b+
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∴3
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∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
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∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC=
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点评：此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•龙岗区模拟）如图，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形．
，这时我们把关于x的形如
的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
，求△ABC面积．
如图，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形．
，这时我们把关于x的形如
的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
必有实数根；
的一个根，且四边形ACDE的周长是6
，求△ABC面积．