Question

如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2。将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H。

（1）求直线AC所对应的函数关系式；
（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：
①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A，C两点的坐标分别为（1，2），（2，1）， 设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b， 有，解得：， 所以，直线AC所对应的函数关系式为y=-x+3。
（2）①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等， 因为点C的坐标为（2，1）， 所以，直线OC所对应的函数关系式为， 又因为点P在直线AC上，所以可设点P的坐标为（a，3-a）， 过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK=h， 因为点M在直线OC上，所以有M（2h，h）， 因为纸板为平行移动，故有EF∥OB，即EF∥GH， 又EF⊥PF，所以PH⊥GH。 故， 从而有， 化简，得， ， 所以， 又， 所以，化简，得， 而， 从而总有。 ②由①知，点M的坐标为，点N的坐标为， ∴         ， 所以，当时，S有最大值，最大值为， S取最大值时点P的坐标为。