Question

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+2过点A（-2，0），B（2，2），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax²+bx+2的函数表达式；
（2）若点D在抛物线y=ax²+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；
（3）在抛物线y=ax²+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；
（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；
（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．

解答 解：（1）把点A（-2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax²+bx+2中，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+2=0}\\{4a+2b+2=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线函数表达式为：y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
（2）y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{9}{4}$；
∴对称轴是：直线x=1，
如图1，过B作BE⊥x轴于E，
∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，
∴C与B关于x=1对称，
∴CD=BD，
连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，
∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$；
答：△ACD的周长的最小值是2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$，
（3）存在，
分两种情况：
①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，
过P作PD⊥y轴于D，
设P（1，y），
则△CGP∽△AOC，
∴$\frac{PG}{OC}=\frac{CG}{AO}$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{CG}{2}$，
∴CG=1，
∴OG=2-1=1，
∴P（1，1）；
②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，
设P（1，y），
则△PEA∽△AOC，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{PE}{AO}$，
∴$\frac{3}{2}$=$\frac{PE}{2}$，
∴PE=3，
∴P（1，-3）；
综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，-3）．

点评 本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第3问采用了分类讨论的思想，与三角形相似结合，列比例式可解决问题．