Question

17．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，过C作CB⊥x轴于B
（1）求△ABC的面积；
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，如图2，求∠AED的度数；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质求出a、b，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）作EH∥AC，根据平行线的性质得到∠ABD=∠CAB，得到∠CAB+∠ODB=90°，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可；
（3）根据三角形中位线定理求出OD，设点P的坐标为：（0，y），根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意得，a+2=0，b-2=0，
解得，a=-2，b=2，
则A（-2，0），C（2，2），
∴AB=2+2=4，BC=2，
则△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AB×BC=4；

（2）如图2，作EH∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥EH，
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠CAB，
∴∠CAB+∠ODB=90°，
∵AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠EDB=$\frac{1}{2}$∠ODB，
∴∠CAE+∠EDB=45°，
∵EH∥AC，BD∥EH，
∴∠AEH=∠CAE，∠DEH=∠EDB，
∴∠AED=∠AEH+∠DEH=45°；

（3）由三角形中位线定理得，OD=$\frac{1}{2}$BC=1，
设点P的坐标为：（0，y），
S_△ACP=S_△ADP+S_△CDP
由题意得，$\frac{1}{2}$×|y-1|×2+$\frac{1}{2}$×|y-1|×2=4，
解得，y=3或-1，
答：△ABC和△ACP的面积相等时，P点坐标为（0，3）或（0，-1）．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、非负数的性质、角平分线的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．