Question

19．已知：如图，CB=1，AB=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{13}{4}$，AD=3，且AB⊥BC于B．
求证：AD⊥AC．

Answer 1

分析 连接AC，首先利用勾股定理可求出AC的长，再在△ADC中利用勾股定理的逆定理可证明△ADC是Rt△，并且∠DAC=90°，即AD⊥AC．

解答 证明：连接AC，
∵AB⊥BC于B，
∴∠ABC=90°，
∴AB²+BC²=AC² （勾股定理），
∴1²+${（{\frac{3}{4}}）^2}$=AC²，
∴AC²=$\frac{25}{16}$，
在△ADC中  CD²=${（\frac{13}{4}）^2}$=$\frac{169}{16}$，
AD²=9，
∵$\frac{25}{16}$+9=$\frac{169}{16}$，
∴AD²+AC²=CD²，
∴△ADC是Rt△，∠DAC=90°（勾股定理的逆定理），
∴AD⊥AC（垂直的定义）．

点评 本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是连接AC，把四边形问题转化为三角形问题．