如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.BC=10cm.AD=8cm.点P从点B出发.在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动.与此同时.垂直于AD的直线m从底边BC出发.以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移.分别交AB.AC.AD于E.F.H.当点P到达点C时.点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒．(1)当t=2时.连接DE.DF.求证:四边形AEDF为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）当t=2时，求△PEF的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，求出EF的长，根据三角形的面积公式计算；
（3）分PE⊥EF，PF⊥EF两种情况，根据相似三角形的性质进行解答即可．

解答（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，又直线m垂直于AD，
∴AD垂直平分EF，
当t=2时，DH=4，又AD=8，
∴AH=HD，
则AD与EF垂直平分，
∴四边形AEDF为菱形；
（2）解：∵m∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AH}{AD}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴△PEF的面积=$\frac{1}{2}$×EF×DH=10cm²；
（3）解：如图1，当PE⊥EF时，
由题意得，BP=3t，PE=2t，
∵PE⊥EF，AD⊥BC，
∴EP∥AD，
∴$\frac{BP}{BD}$=$\frac{EP}{AD}$，即$\frac{3t}{5}$=$\frac{2t}{8}$，
则t不存在；
如图2，当PF⊥EF时，
PF=2t，CP=10-3t，
∵PF∥AD，
∴$\frac{PF}{AD}$=$\frac{CP}{CD}$，即$\frac{10-3t}{5}$=$\frac{2t}{8}$，
解得t=$\frac{40}{17}$，
∴当t=$\frac{40}{17}$时，△PEF为直角三角形．
如图3，
当EP⊥FP时，分别过E、F作BC的垂线，垂足分别是G、M．
由于EF平行BC，又因为∠EGP=∠FPE=∠PMF=90°
故易证△EGP∽△FPE∽△PMF；
又△BGE∽△BDA，EG=2t，故可以求得BG=$\frac{5}{4}t$，从而GP=BP-BG=$\frac{7}{4}t$，
由等腰三角形的对称性可知，CM=$\frac{5}{4}t$，从而PM=BC-BP-MC=10-$\frac{17}{4}t$；
因为△EGP∽△PMF，有$\frac{EG}{PM}=\frac{GP}{MF}$，分别代入数据，
有$\frac{2t}{10-\frac{17}{4}t}=\frac{\frac{7}{4}t}{2t}$
整理得$（\frac{183}{16}t-\frac{70}{4}）t=0$，故t=0（舍去），t=$\frac{280}{183}$
综上当t=$\frac{40}{17}$或$\frac{280}{183}$时，△PEF为直角三角形