Question

11．如图所示，在正方形ABCD中，AD=6，点E是CD的中点，点M是AE上的一点，MF⊥AE，交AB的延长线于点F，联结EF交BC于点P．
（1）设∠AFM=α，求sinα的值；
（2）若PC=BP，设∠EFM=β，求cotβ的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠AFM=∠DAE，在Rt△ADE中，求出tan∠DAE即可解决问题．
（2）由△AFM∽△EAD，得$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AM}{DE}$=$\frac{FM}{AD}$，求出AM、FM、EM，根据cotβ=$\frac{FM}{ME}$，计算即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=6．∠D=∠BAD=90°，
∵DE=DC=3，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∵FM⊥AE，
∴∠AMF=90°，∠DAE+∠FAM=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠DAE=α，
∴tanα=tan∠DAE=$\frac{1}{2}$．

（2）∵BF∥CE，
∴$\frac{BF}{CE}$=$\frac{BP}{PC}$=1，
∴BF=CE=3，
∴AF=9，
∵△AFM∽△EAD，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AM}{DE}$=$\frac{FM}{AD}$，
∴$\frac{9}{3\sqrt{5}}$=$\frac{AM}{3}$=$\frac{FM}{6}$，
∴AM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，FM=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，EM=AE-AM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴cotβ=$\frac{FM}{ME}$=$\frac{\frac{18\sqrt{5}}{5}}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}$=3．

点评 本题考查正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．