Question

3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点D在AB上，点E在AC上，分别过B、E作AC、BC的平行线，两平行线交于点H．
（1）求证：四边形BCEH为矩形；
（2）求$\frac{CD}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形BCEH是平行四边形，再由∠ACB=90°，即可判定四边形BCEH为矩形；
（2）连接DH，CH，由四边形BCEH为矩形，得出HE=BC，再证明△ACD≌△EHD，得出CD=HD，∠CDH=90°，△CDH为等腰直角三角形，即可求出结果．

解答 （1）证明：∵BC∥HE，BH∥AC，
∴四边形BCEH是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形BCEH为矩形；
（2）解：连接DH，CH；如图所示：
∵四边形BCEH为矩形，
∴HE=BC，∠HEC=90°，CH=BE，
∴∠AEH=90°，
∴∠DEH=45°，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴∠A=∠AED=∠ABC=45°，AD=DE，AC=BC，
∴AC=HE，∠A=∠DEH=45°，
在△ACD和△EHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}&{\;}\\{∠A=∠DEH}&{\;}\\{AC=HE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EHD（SAS），
∴CD=HD，∠ADC=∠EDH，
∴∠CDH=∠ADE=90°，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{CD}{CH}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质与判定；通过作辅助线证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．