Question

19．已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，AD=BD，DE=DC．
  （1）求证：∠1=∠C．
  （2）当BD=3，DC=1时，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明∠1=∠C，只要证明△BDE≌△ADC即可．
（2）求出AD、DC，根据AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$计算即可．

解答 解：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC，
∴∠1=∠C．

（2）∵AD=BD=3，DC=1，∠ADC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．