Question

8．如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁，l₂交于C、D两点，点P在直线CD上．
（1）试写出图1中∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系，并说明理由；
（2）如果P点在C、D之间运动时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系会发生变化吗？
    答：不发生（填发生或不发生）
（3）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），如图2，图3，试分別写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）由（1）知，如果P点在C、D之间运动时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系不发生变化；
（3）当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l₁∥l₂，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答 解：（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
过点P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）由（1）知，如果P点在C、D之间运动时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系不发生变化；

（3）如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l₁上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l₂下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

点评 本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法．