Question

4．在△ABC中，点D在BC边上，点E是线段AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线于点F，连结CF，若AF=DC．
（1）求证：BD=DC；
（2）当四边形ADCF为正方形时，线段AB与BC有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用全等三角形的判定方法得出△AFE≌△DBE（AAS），进而得出答案；
（2）利用正方形的性质结合等腰直角三角形的性质得出答案．

解答 （1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠BDE}\\{∠AFE=∠DBE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．

（2）AB=$\sqrt{2}$BC，
理由：∵四边形ADCF为正方形，
∴AD=DC且AD⊥DC，
∴AD=BD=DC，
∴AB=$\sqrt{2}$BC．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△AFE≌△DBE（AAS）是解题关键．