Question

12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=$\frac{4}{5}$．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求出△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥x轴于点D，可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，把A点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值，再求得B点坐标，利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）由一次函数解析式可求得C点坐标及与y轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式可求得△AOC的面积．

解答 解：（1）如图1，过A作AD⊥x轴于点D，

∵sin∠AOE=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AD}{AO}$=$\frac{4}{5}$，且AO=5，
∴AD=4，OD=3，
∴A（-3，4），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象过A、B两点，
∴m=-3×4=-12，
∴6n=-12，解得n=-2，
∴B（6，-2），
把A、B两点坐标代入一次函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=4}\\{6k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2；
（2）如图2，设直线AB与y轴交于点F，过A作AG⊥y轴交y轴于点G，

在y=-$\frac{2}{3}$x+2中，令y=0，可求得x=3，令x=0，可求得y=2，
∴C（3，0），F（0，2），且A（-3，4），
∴OF=2，OC=3，AG=3，
∴S_△AOC=S_△AOF+S_△COF=$\frac{1}{2}$OF（AG+OC）=$\frac{1}{2}$×2×（3+3）=6．

点评 本题主要考查待定系数法及函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．