Question

2．如图，⊙O的半径为1，A为⊙O上一点，过点A的直线l交⊙O于点B，将直线l绕点A逆时针旋转180°，当AB的长度由1变为$\sqrt{3}$时，l在圆内扫过的面积为$\frac{π}{2}$$+\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图1，可先证明Rt△ACB≌Rt△B′CO，从而可知阴影部分的面积等于圆面积的$\frac{1}{6}$；如图2，阴影部分的面积=圆的面积-S₁-S₂．

解答 解：如图1所示：

当点B运动到点B′的位置时，过点O作OC⊥AB′，
∵AB=AO=BO=1，
∴∠AOB=60°．
由垂径定理可知：AC=CB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由锐角三角形函数的定义可知：sin∠AOC=$\frac{AC}{AO}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=60°．
∴点O、C、B在同一条直线上．
在Rt△ACB和Rt△B′CO中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB′}\\{AC=CB′}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△B′CO．
∴直线AB扫过的面积=扇形BOB′的面积=$\frac{1}{6}$×π×1²=$\frac{π}{6}$．
如图2：当点B运动到点B′的位置时，过点O作OC⊥AB′，

∵AB=AO=BO=1，
∴∠AOB=60°．
∴S₂=扇形AOB的面积-△AOB的面积=$\frac{1}{6}$×π×1²-$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
S₁=扇形AOB′的面积-△AOB′的面积=$\frac{1}{3}$×π×1²-$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴直线AB扫过的面积=圆的面积-S₁-S₂=π-（$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）-（$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{π}{2}$$+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$$+\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质，扇形的面积公式，将不规则图形的面积转为规则图形的面积是解题的关键．