Question

2．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，以点D为圆心，DE为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．

Answer 1

分析 过点D作DF⊥AC，根据等边对等角得出∠B=∠C，D是BC边的中点，以及DE⊥AB，可以证明两三角形全等，得到DF=DE，说明DF是⊙D的一条半径，根据切线的判定定理证明AC是⊙D的切线．

解答 证明：作DF⊥AC于F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠DFC}\\{∠B=∠D}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴DF=DE，
∴AC是⊙D的切线．

点评 本题考查的是切线的判定，证得△BDE≌△CDF，得到DF=DE，说明AC经过了半径DF的外端，并且垂直于这条半径，所以AC是⊙D的切线．