Question

18．在边长为1的正方形网格中，正方形ABFE与正方形EFCD的位置如图所示．
（I）△PEM是△PMB相似（填“是”或“否”）；
（II）若Q是线段BD上一点，连接FQ并延长交四边形ABCD的一边于点 R，且满足FR=$\frac{1}{2}$BD，则$\frac{FQ}{QR}$的值为2或$\frac{2}{3}$或1．

Answer 1

分析 （1）计算出PM、BM、BP的值从而判定△PMB为直角三角形且∠PMB=90°、$\frac{PM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，继而可得$\frac{PE}{ME}$=$\frac{PM}{BM}$，且∠PEM=∠PMB，即可得证；
（2）如图，根据题意，画出R点的三个可能的位置，分别计算$\frac{FQ}{QR}$的值．

解答 解：（1）∵PM=2$\sqrt{5}$、BM=4$\sqrt{5}$、BP=10，
∴PM²+BM²=BP²，
∴∠PMB=90°，$\frac{PM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{PE}{ME}$=$\frac{1}{2}$，∠PEM=90°，
∴$\frac{PE}{ME}$=$\frac{PM}{BM}$，且∠PEM=∠PMB，
∴△PEM∽△PMB，
故答案为：是；

（2）如图，

当R在R₁的位置时，$\frac{FQ}{QR}$=$\frac{BF}{D{R}_{1}}$=2，
当R在R₂的位置时，$\frac{FQ}{QR}$=$\frac{BF}{D{R}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
当R在R₃的位置时，$\frac{FQ}{QR}$=$\frac{BF}{M{R}_{3}}$=1，
故答案为：2或$\frac{2}{3}$或1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是能根据题意，利用相似三角形的判断画出图形，利用相似三角形的性质求解．