Question

如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD=；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是 ．

 

 

Answer 1

①③⑤．

【解析】

试题分析：①如图，连接CD，

∵根据轴对称的性质，CE＝CD，∴∠DCE＝∠ECD．

又∵DF⊥DE，∴．∴CD=CF．∴CE＝CF．结论①正确．

②∵由①知，EF＝2CD，∴当线段EF最小时，线段CD也最小．

根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小．

∵AB是半圆O 的直径，∴∠ACB＝90°．

∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝．

当CD⊥AD时，，

∴线段EF的最小值为．结论②错误．

③如图，连接CD，CO，

∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°．∴△AOB是等边三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°．

∴当AD＝2时，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°．

∵根据轴对称的性质，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°．

∴EF与半圆相切． 结论③正确．

④若点F恰好落在BC上，则点D，F重合于点B，AD=AB=8．结论④错误．

⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，为．结论⑤正确．

综上所述，结论正确的是①③⑤．

考点：1．单动点和轴对称问题；2．轴对称的性质；3．垂直线段的性质；4．圆周角定理；5．含30度角直角三角形的性质；6．等边三角形的性质；7．切线的判定．