Question

4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，点M在PB上，且OM∥AP，若⊙O的半径r=3，PA=9，求OM的长．

Answer 1

分析 连接OA，作MN⊥AP于N，由切线的性质可知OA⊥AP，OB⊥BP，证得四边形ANMO是矩形，故可得出OA=MN，由OA=MN，OA=OB，OM∥AP．可知OB=MN，∠OMB=∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM=MP．设OM=x，则NP=9-x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．

解答 解：连接OA，作MN⊥AP于N
则OA⊥AP，OB⊥BP，
∵MN⊥AP，
∴MN∥OA，
∵OM∥AP，
∴四边形ANMO是矩形，
∴OM=AN，OA=MN
∵OA=OB，OM∥AP．
∴OB=MN，∠OMB=∠NPM，
在△OBM和△MNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMB=∠NPM}\\{∠OBM=∠MNP}\\{OB=MN}\end{array}\right.$．
∴Rt△OBM≌Rt△MNP，
∴OM=MP．
设OM=x，则NP=9-x，
在Rt△MNP中，有x²=3²+（9-x）²
∴x=5，即OM=5．

点评 本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答．