Question

2．等腰△ABC中，AB=AC，点O为高线AD上一点，⊙O与AB、AC相切于点E、F，交BC于点G、H，连接EG，若BG=EG=7，AE：BE=2：5，则GH的长为$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 设AE=2k，BE=5k，则AB=7k，根据等腰三角形的性质得到CH=BG=7，由切割线定理得到BE²=BG•BH，25k²=49+7GH  ①，根据相似三角形的性质得到5k²=14+GH  ②，把②代入①即可得到结论．

解答 解：∵AE：BE=2：5，
设AE=2k，BE=5k，则AB=7k，
∵AB=AC，点O为高线AD上一点，
∴BD=CD，DG=DH，
∴CH=BG=7，
∵BE是⊙O的切线，
∴BE²=BG•BH，即（5k）²=7（7+GH），
∴25k²=49+7GH  ①，
∵BG=EG，
∴△BGE是等腰三角形，
∴△BEG∽△BCA，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BG}{AB}$，即$\frac{5k}{14+GH}$=$\frac{7}{7k}$，
∴5k²=14+GH  ②，
把②代入①得5（14+GH）=49+7GH，
∴GH=$\frac{21}{2}$．
故答案为：$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，切割线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．