Question

5．阅读与应用：同学们：你们已经知道（a-b）²≥0，即a²-2ab+b²≥0．
∴a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时取等号）．
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：
x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{m}{x}}$即x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，
∴当x=$\frac{m}{x}$，即x²=m，∴x=$\sqrt{m}$（m＞0）时，函数y=x+$\frac{m}{x}$的最小值为2$\sqrt{m}$．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1），则a=4时，函数y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1）的最小值为6；
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为$\frac{4}{x}$，周长为2（x+$\frac{4}{x}$），求当x=2时，周长的最小值为8；
问题3：求代数式$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$（m＞-1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由阅读2得到a-1=$\sqrt{9}$时，函数y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1）取最小值；
（2）同（1）方法x=2时周长取到最小值；
（3）先将$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$处理成m+1+$\frac{4}{m+1}$，同（1）的方法得出结论；

解答 解：问题1，由阅读2知，a-1=$\sqrt{9}$时，
即：a=4时，函数y=a-1+$\frac{9}{a-1}$（a＞1）的最小值是2$\sqrt{9}$=6，
答案为4，6；
问题2，由阅读2知，x=$\sqrt{4}$=2时，
周长为2（x+$\frac{4}{x}$）的最小值是2×2$\sqrt{4}$=8，
故答案为2，8；
（3）$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$=$\frac{{m}^{2}+2m+1+4}{m+1}$=$\frac{（m+1）^{2}+4}{m+1}$=m+1+$\frac{4}{m+1}$，
∴当m+1=$\sqrt{4}$时，即m=1时，$\frac{{m}^{2}+2m+5}{m+1}$（m＞-1）最小值是2$\sqrt{4}$=4．

点评 此题是反比例函数题，函数极值的确定方法，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．