题目内容
（2005•菏泽）市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷水头，-瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成45°的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B离地平面距离高出2m，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中：（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求水流的落地点D到A点的距离是多少m？
【答案】分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5）及B（0，1.5），设顶点式求解析式；
（2）求AD，实际上是求当y=0时点D横坐标．
解答：解：在如图所建立的直角坐标系中，
由题意知，B点的坐标为（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C点坐标为（2，3.5）
（1）设抛物线的函数解析式为
y=ax2+bx+c（a≠0），
则抛物线过点（0，1.5）顶点为（2，3.5），
∴当x=0时，y=c=1.5
由
，得b=-4a，
由
，得
解之，得a=0（舍去），a=-
，
∴b=-4a=2．
所以抛物线的解析式为y=-
x2+2x+
．
（2）∵D点为抛物线y=-
x2+2x+
的图象与x轴的交点，
∴当y=0时，即：-
x2+2x+
=0，
解得x=2±
，
x=2-
不合题意，舍去，取
．
∴D点坐标为（2+
，0），
∴AD=（2+
）（m）．
答：水流的落地点D到A点的距离是（2+
）m．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（2）求AD，实际上是求当y=0时点D横坐标．
解答：解：在如图所建立的直角坐标系中，
由题意知，B点的坐标为（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC为等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C点坐标为（2，3.5）
（1）设抛物线的函数解析式为
y=ax2+bx+c（a≠0），
则抛物线过点（0，1.5）顶点为（2，3.5），
∴当x=0时，y=c=1.5
由
，得b=-4a，由
，得解之，得a=0（舍去），a=-
，∴b=-4a=2．
所以抛物线的解析式为y=-
x2+2x+．（2）∵D点为抛物线y=-
x2+2x+的图象与x轴的交点，∴当y=0时，即：-
x2+2x+=0，解得x=2±
，x=2-
不合题意，舍去，取．∴D点坐标为（2+
，0），∴AD=（2+
）（m）．答：水流的落地点D到A点的距离是（2+
）m．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
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