Question

17．如图，∠EAB是△ABC的外角，BD平分∠ABC．求证：∠BDE=$\frac{1}{2}$（∠C+∠BAE）

Answer 1

分析 首先根据角平分线的定义可得∠1=$\frac{1}{2}$∠CBA，根据内角与外角的性质可得∠C+∠1=∠BDE①，∠C+2∠1=∠BAE②，利用等量代换把①代入②可得∠BDE+∠1=∠BAE，然后变形为∠BDE=∠BAE-∠1，再次利用等量代换可得结论．

解答 证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∵∠C+∠1=∠BDE，∠C+2∠1=∠BAE，
∴∠BDE+∠1=∠BAE，
∴∠BDE=∠BAE-∠1=∠BAE-$\frac{1}{2}$∠CBA，
∵∠CBA=∠BAE-∠C，
∴∠BDE=∠BAE-$\frac{1}{2}$（∠BAE-∠C）=∠BAE-$\frac{1}{2}∠BAE$+$\frac{1}{2}∠C$=$\frac{1}{2}$（∠C+∠BAE）．

点评 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．