Question

14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，S_△ABC=4，AC=4．
（1）CD的长；
（2）∠ACD的正弦值与余弦值的和．

Answer 1

分析 （1）先利用三角形面积公式计算出BC，再利用勾股定理计算出AB，然后再利用三角形面积公式可求出CD；
（2）先在在Rt△ACB中，利用正余弦定义分别求出∠B的正弦和余弦值，则利用等角的余角相等得到∠B=∠ACD，于是易得∠ACD的正弦值与余弦值的和．

解答 解：（1）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴$\frac{1}{2}$•4•BC=4，解得BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
而S_△ABC=$\frac{1}{2}$CD•AB，
∴CD=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
（2）在Rt△ACB中，∵sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinB+cosB=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠ACD的正弦值与余弦值的和为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．