Question

3．观察图形：

解决问题
已知在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（-2，0），C（4，0），点M在y轴负半轴，且∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．

Answer 1

分析 借助网格中的图形的关系，构造出△COD≌△AOB得出∠OAB=∠DCO，再利用等角的同名三角函数值相等求出tan∠OMB=$\frac{1}{3}$即可求出OM即可得出结论．

解答 解：如图，在y轴正半轴取一点D，使得OD=OB，
∵A（0，4），B（-2，0），C（4，0），
∴OA=OC=4，OB=OD=2，
∴∠OAC=∠ACO=45°，
AC=$\sqrt{A{O^2}+O{C^2}}=4\sqrt{2}$．
在△COD和△AOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠COD=∠AOB}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△AOB，
∴∠OAB=∠DCO．
∵∠OMB+∠OAB=∠ACB，
∠ACD+∠DCO=∠ACB，
∴∠OMB=∠ACD．
过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△ADH，∵sin$∠DAH=\frac{DH}{AD}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴DH=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，CH=$3\sqrt{2}$．
在Rt△CDH中，∵tan$∠DCH=\frac{DH}{CH}=\frac{{\sqrt{2}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{1}{3}$
∴tan∠OMB=$\frac{1}{3}$．
在Rt△BOM中，∠BOM=90°，
∵tan∠OMB=$\frac{OB}{OM}=\frac{1}{3}$，
∴OM=6，
∴点M（0，-6）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判断，锐角三角函数，从已知图形中找到角的转化特点，构造出全等三角形是解本题的关键，