Question

如图所示，已知：在直角三角形ABC中，∠BAC＝，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，若EG⊥BC于G，连结FG，求证：四边形AEGF是菱形．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵∠BAC＝(已知)，∴∠BAD＋∠DAC＝． 　　又∵AD⊥BC(已知)，∴∠DAC＋∠C＝(直角三角形两锐角互余)． 　　∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE， 　　∠AEF＝∠EBC＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和)． 　　而∠ABE＝∠EBC(角平分线的定义)， 　　∴∠AEF＝∠AFE(等式的性质)， 　　∴AF＝AE(等角对等边)． 　　又∵BE是∠ABC的平分线， 　　∴AE＝EG(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 　　∴AF＝EG(等量代换)． 　　而AD⊥BC，EG⊥BC(已知)， 　　∴AD∥EG(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)． 　　而AF＝EG， 　　∴四边形AFGE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 　　又∵AE＝AF 　　故四边形AFGE是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)． 　　解析：要证明四边形AEGF是菱形，可先证明它是平行四边形，那么由已知条件易证AE＝EG，再由角之间的关系可得到AF＝AE，即AF＝EG，又因为AF∥EG，故四边形AFGE是平行四边形，再由AF＝AE可知，四边形AFGE还是菱形． 　　说明：判定一个四边形是特殊的平行四边形，如菱形、矩形等，要逐步突破，先证出它是平行四边形，然后再证明其他的必要条件，从而实现目标．