Question

16．如图，已知点A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S_△AOP=6．
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）已知AC=2$\sqrt{5}$，若以AC为一边作等腰△ACG，使顶点G在坐标轴上，满足条件的点G有几个？并直接写出以AC为腰时，所有点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值；
（3）根据等腰三角形的判定，可得AC=AG或AC=CG．

解答 解：（1）S_△COP=$\frac{1}{2}$OC•PE=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
（2）S_△AOC=S_AOP-S_△COP=6-2=4，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$AO•OC=$\frac{1}{2}$×2•AO=4，
解得AO=4，即A（-4，0）．
设AC的解析式为y=kx+b，
将A，C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
当x=2时，y=3，
即p=3；
（3）AC=2$\sqrt{5}$，若以AC为一边作等腰△ACG，使顶点G在坐标轴上，满足条件的点G有四个，
①G在x轴上时，设G（a，0），
当AC=AG时，得
a-（-4）=2$\sqrt{5}$，解得a=-4+2$\sqrt{5}$，G₁（2$\sqrt{5}$-4，0），
-4-a=2$\sqrt{5}$，解得a=-4-2$\sqrt{5}$，G₂（-4-2$\sqrt{5}$，0）；
②G在y轴上时，设G（0，b）
当AC=CG时，得
b-2=2$\sqrt{5}$，解得b=2+2$\sqrt{5}$，G₃（0，2+2$\sqrt{5}$），
2-b=2$\sqrt{5}$，解得b=2-2$\sqrt{5}$，G₄（0，2-2$\sqrt{5}$）；
综上所述：G₁（2$\sqrt{5}$-4，0），G₂（-4-2$\sqrt{5}$，0），G₃（0，2+2$\sqrt{5}$），G₄（0，2-2$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了一次函数的综合题，（1）利用了三角形的面积公式，（2）利用面积的和差得出S_△AOC是解题关键，又利用了待定系数求函数解析式；（3）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．