Question

3．在△ABC中，BF和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O是内心（角平分线的交点），满足OE=OF，求证：△ABC是等腰三角形或∠A=60°．

Answer 1

分析 在AC上截取AE'=AE，①当E'和F重合时，可先证明△AOE≌△AOF，△BOE≌△COF，从而得到AB=AE+BE=AF+CF=AC，故△ABC是等腰三角形；②如果E'和F不重合，易知△AOE'≌△AOF，于是OE'=OF，即∠OFE'=∠BEC，从而得到$∠A+\frac{1}{2}∠C=\frac{1}{2}∠B+∠C$，结合三角形的内角和定理可求得∠A=60°．

解答 证明：在AC上截取AE'=AE．
①当点E'和F重合时，如图1所示：连接OA

在△AEO和△AFO中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{EO=OF}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO．
∴∠AEO=∠AFO．
∴∠BEO=∠CFO．
在△BEO和△CFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠CFO}\\{OE=OF}\\{∠EOB=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△BEO≌△CFO．
∴BE=FC．
∴AE+BE=AF+CF．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
②当点E′与点F不重合时，如图2所示：连接OA．

∵O是△ABC的内心，
∴∠EAO=∠E′AO．
在△AEO和△AE′O中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAO=∠E′AO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AE′O．
∴OE=OE′，∠AEO=∠AE′O．
∴∠BEC=∠OE′C．
∵OE=OF，
∴OE′=OF．
∴∠OE′F=∠OFE′．
∴∠BEC=∠OFE'，即$∠A+\frac{1}{2}∠C$=$\frac{1}{2}∠B+∠C$．
∴∠A=$\frac{1}{2}∠B+\frac{1}{2}∠C$=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），即$∠A=\frac{1}{2}×（180°-∠A）$．
解得：∠A=60°．
综上所述，△ABC是等腰三角形或∠A=60°．

点评 本题主要考查的是三角形的内心、全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用，分类讨论是解题的关键．