Question

7．如图，已知在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，⊙O₁和⊙O₂分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是4$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到AC=20，△ABC≌△CDA，则⊙O₁和⊙O₂的半径相等．如图，过O₁作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O₂作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，由∠B=90°，推出四边形O₁NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12-r+16-r=20，解得r=4，过O₁作O₁M⊥FO₂于M，则O₁M=PQ=8，QM=BN=4，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=12，BC=16，
∴AC=20，△ABC≌△CDA，则⊙O₁和⊙O₂的半径相等．
如图，过O₁作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，
过O₂作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，
∵∠B=90°，
∴四边形O₁NBP是正方形，
设圆的半径为r，根据切线长定理12-r+16-r=20，解得r=4，
∴BP=BN=4，
同理DG=HD=CQ=24，
∴CG=FO₂=8，PQ=16-8=8，
过O₁作O₁M⊥FO₂于M，则O₁M=PQ=8，QM=BN=4，
∴O₂M=4，
在Rt△O₁O₂M中，O₁O₂=$\sqrt{{{O}_{1}M}^{2}+{O}_{2}{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了三角形的内切圆的性质及切线长定理，作辅助线是解题的关键．