如图.在直角坐标系xOy中.Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A.C始终在x轴的正半轴上.B.D在第一象限内.点B在直线OD上方.OC=CD.OD=2.M为OD的中点.AB与OD相交于E.当点B位置变化时.Rt△OAB的面积恒为$\frac{1}{2}$．(1)求点D的坐标,(2)设点B横坐标为t.请把BD长表示成关于t的函数关系式.并化简,(3)设CM与AB相交于F.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为$\frac{1}{2}$．
（1）求点D的坐标；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质得出CD=OC=$\sqrt{2}$，得出点D的坐标；
（2）根据直角三角形的面积公式进行解答；
（3）分∠EBD=90°时和∠EBD=45°两种情况进行分析，利用直角梯形和菱形的判定解答．

解答解：（1）∵RT△OCD中，OC=CD，OD=2，
∴CD=OC=$\sqrt{2}$，
∴点D的坐标（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
（2）由RT△OAB的面积为$\frac{1}{2}$，得B（t，$\frac{1}{t}$），
∵BD²=AC²+（AB-CD）²，
∴$B{D}^{2}=（t-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{1}{t}-\sqrt{2}）^{2}$
=${t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}-2\sqrt{2}（t+\frac{1}{t}）+4$
=$（t+\frac{1}{t}）^{2}-2\sqrt{2}（t+\frac{1}{t}）+2$
=$（t+\frac{1}{t}-\sqrt{2}）^{2}$，
∴$BD=|t+\frac{1}{t}-\sqrt{2}|=t+\frac{1}{t}-\sqrt{2}$；
（3）如果△BDE为直角三角形，因为∠BED=45°，
①当∠EBD=90°时，此时F、E、M三点重合，如图1所示，

因为BF⊥x轴，DC⊥x轴，所以BF∥DC，所以此时四边形BDCF为直角梯形，
②当∠EBD=45°时，如图2所示，

因为CF⊥OD，所以BD∥CF，又BF⊥x轴，DC⊥x轴，所以BF∥DC，所以此时四边形BDCF是平行四边形，连结OB，在△BOD中，OB²=OD²+BD²，
${t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}=4+（t+\frac{1}{t}-\sqrt{2}）^{2}$，得$t+\frac{1}{t}=2\sqrt{2}$，$DB=t+\frac{1}{t}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
此时BD=CD=$\sqrt{2}$，所以此时四边形BDCF为菱形．