Question

11．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE²-EA²=AC²，
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA²+AC²=CE²，可证得结论；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．

解答 （1）证明：
连接CE，如图，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE…（2分）
∵BE²-EA²=AC²，
∴CE²-EA²=AC²，
∴EA²+AC²=CE²，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）解：
∵DE=3，BD=4，
∴BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=5=CE，
∴AC²=EC²-AE²=25-EA²，
∵BC=2BD=8，
∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC²-BA²=64-（5+EA）²=AC²，
∴64-（5+AE）²=25-EA²，解得AE=$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．