Question

如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点做一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：延长BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，连接DK．通过证明△BDQ≌△CDP，△MDQ≌△PDK，△MDN≌△KDN证得△AMN的周长=

1

2

（AB+AC）=1．

解答：解：延长BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，连接DK．
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDQ=∠CDP=60°
又∵△ABC等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠PCD=30°，CQ⊥AB，BP⊥AC，
∴AQ=BQ=

1

2

AB=

1

2

，AP=PC=

1

2

AC=

1

2

，
在△BDQ和△CDP中，

∠QBD=∠PCD BD=CD ∠BDQ=∠CDP

，
∴△BDQ≌△CDP（ASA），
∴BQ=PC，QD=PD，
∵CQ⊥AB，BP⊥AC，
∴∠MQD=∠DPK=90°，
在△MDQ与△PDK中，

QD=PD ∠MQD=∠DPK QM=PK

，
∴△MDQ≌△PDK（SAS），
∴∠QDM=∠PDK，DM=DK，
∵∠BDQ=60°∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠PDN=60°，
∴∠PDK+∠PDN=60°，
即∠KDN=60°，
在△MDN与△KDN中，

DM=DK ∠MDN=∠KDN=60° DN=DN

，
∴△MDN≌△KDN（SAS），
∴MN=KN=NP+PK，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AQ+AP=

1

2

+

1

2

=1
故△AMN的周长为1．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．