Question

14．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数．比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504．根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；
（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数．

Answer 1

分析 （1）设连续自然数中间的一个为x，则其他的两个为x-1，x+1，表示出原三位数与反序数，验证即可；
（2）设两位数十位数字为a，个位数字为b，表示出两位数与反序数，根据题意确定出即可．

解答 解：（1）设连续自然数中间的一个为x，则其他的两个为x-1，x+1，
根据题意得：[100（x+1）+10x+x-1]-[100（x-1）+10x+x+1]=100x+100+11x-1-100x+100-11x-1=198，
则原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；
（2）设两位数十位数字为a，个位数字为b，
根据题意得：10a+b+10b+a=11（a+b），
由和为完全平方数，得到a+b=11，
a=2，b=9；a=3，b=8；a=4，b=7；a=5，b=6；a=6，b=5；a=7，b=4；a=8，b=3；a=9，b=2，
则满足上述条件的所有两位数为29，38，47，56，65，74，83，92．

点评 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．