Question

18．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E；
（1）理清思路，完成解答：求证：△BPO≌△PDE；
（2）特殊位置，证明结论：若PB平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP=CD．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得到∠2=∠1+∠3=∠4+∠C，可得到∠3=∠4，可证明△BPO≌△PDE；
（2）由角平分线的定义结合（1）可证得∠ABP=∠4，结合条件可证明△ABP≌△CPD，可证得AP=CD．

解答 证明：
（1）∵PB=PD，
∴∠2=∠1+∠3，且∠2=∠C+∠4，
∵AB=AC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴∠1=∠C=45°，
∴∠3=∠4，
在△BPO和△PDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠POB=∠PED=90°}\\{PB=PD}\end{array}\right.$
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）∵PB平分∠ABO，
∴∠3=∠ABP，
由（1）可知∠3=∠4，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CP}\\{∠ABP=∠4}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△CPD（ASA），
∴AP=CD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，在（1）中注意等腰三角形性质的应用，在（2）中注意角平分线的应用．