题目内容
在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识“的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，从而解决问题的方法就是类比法，类比法是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
【尝试探索】
经过三角形顶点的面积等分线有
【推理反思】
（1）按如图1方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是
（2）如图2，C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧构造等边三角形△ACD和等边三角形△CBE，若△CBE的面积是1cm2，则图中阴影三角形的面积是
（3）结语：上述两道小题的求解方法有很多值得借鉴的相似之处．
【类比拓展】
如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并描述方法．
考点：面积及等积变换
专题：
分析：【尝试探索】：读懂面积等分线的定义，不难得出：经过三角形顶点的面积等分线有3条；平行四边形有无数条面积等分线．
【推理反思】（1）延长BA，EF交于点H，利用S阴影=S长方形BCEH-S△ABC-S△CEF-S△AHF求解即可．
（2）由△ACD和△CBE等边三角形，可得DC∥EB，从而得出S△EDC=S△BCD，由S△DFC是S△EDC和S△BCD的公共部分，可得出S△EDF=S△BCF，即可得出S△BDE=S△CBE=1cm2．
【类比拓展】过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE由BE∥AC，且△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，可得S△ABC=S△AEC由S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．再由S△ABC＜S△ACD，可得面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
【推理反思】（1）延长BA，EF交于点H，利用S阴影=S长方形BCEH-S△ABC-S△CEF-S△AHF求解即可．
（2）由△ACD和△CBE等边三角形，可得DC∥EB，从而得出S△EDC=S△BCD，由S△DFC是S△EDC和S△BCD的公共部分，可得出S△EDF=S△BCF，即可得出S△BDE=S△CBE=1cm2．
【类比拓展】过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE由BE∥AC，且△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，可得S△ABC=S△AEC由S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．再由S△ABC＜S△ACD，可得面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
解答：解：【尝试探索】：根据“面积等分线”的定义知，一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线，所以经过三角形顶点的面积等分线有3条；只要经过平行四边形的两条对角线交点的直线就是平行四边形的面积等分线，所以平行四边形面积等分线有无数条．
故答案为：3，无数．
【推理反思】（1）如图1，延长BA，EF交于点H，
S阴影=S长方形BCEH-S△ABC-S△CEF-S△AHF=a（a+b）-
a2-
b（a+b）-
b（a-b）=
a2，
∵大正方形的面积是80cm2，即a2=80，
∴S阴影=
a2=
×80=40cm2．
故答案为：40．
（2）如图2，
∵△ACD和△CBE等边三角形，
∴∠DCA=∠EBC=60°，
∴DC∥EB，
∴S△EDC=S△BCD，
∵S△DFC是S△EDC和S△BCD的公共部分，
∴S△EDF=S△BCF，
∴S△BDE=S△CBE=1cm2．
故答案为：1．
【类比拓展】
能，如图3，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．
∵S△ACD＞S△ABC，
∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：
故答案为：3，无数．
【推理反思】（1）如图1，延长BA，EF交于点H，
S阴影=S长方形BCEH-S△ABC-S△CEF-S△AHF=a（a+b）-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
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| 1 |
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| 1 |
| 2 |
∵大正方形的面积是80cm2，即a2=80，
∴S阴影=
| 1 |
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| 1 |
| 2 |
故答案为：40．
（2）如图2，
∵△ACD和△CBE等边三角形，
∴∠DCA=∠EBC=60°，
∴DC∥EB，
∴S△EDC=S△BCD，
∵S△DFC是S△EDC和S△BCD的公共部分，
∴S△EDF=S△BCF，
∴S△BDE=S△CBE=1cm2．
故答案为：1．
【类比拓展】
能，如图3，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．
∵S△ACD＞S△ABC，
∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：
点评：本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求，还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
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