Question

5．（1）对于算式2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
不用计算器，你能计算出来吗？
（2）你知道它的计算结果的个位是几吗？
（3）根据（1）推测（a+1）（a²+1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）=$\frac{{2}^{2048}-1}{a-1}$或2¹¹．

Answer 1

分析 （1）原式中的2变形为（3-1），利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果的个位；
（3）分a≠1与a=1两种情况，求出原式的值即可．

解答 解：（1）原式=（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3²-1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3⁴-1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3⁸-1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3¹⁶-1）（3¹⁶+1）（3³²+1）+1
=（3³²-1）（3³²+1）+1
=3⁶⁴-1+1
=3⁶⁴；
（2）3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，
依次以3，9，7，1循环，
∵64÷4=16，∴3⁶⁴的个位数字是1；
（3）当a≠1时，
原式=$\frac{1}{a-1}$（a-1）（a+1）（a²+1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a²-1）（a²+1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a⁴-1）（a⁴+1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a⁸-1）（a⁸+1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a¹⁶-1）（a¹⁶+1）…（a¹⁰²⁴+1）
=$\frac{1}{a-1}$（a²⁰⁴⁸-1）
=$\frac{{a}^{2048}-1}{a-1}$；
当a=1时，原式=2¹¹．

点评 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．