Question

6．如图，A（$\sqrt{3}$，1），B（1，$\sqrt{3}$）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（-1，-$\sqrt{3}$）或（-2，0）．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，根据点A的坐标求直角△AOC三边的长，再分两种情况讨论：逆时针旋转150°或顺时针旋转150°，根据旋转角得特殊角，由30°角的直角三角形的性质可以依次求出A′的坐标．

解答 解：过A作AC⊥x轴于C，
∵A（$\sqrt{3}$，1），
∴OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
由勾股定理得：OA=2，
tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOC=30°，
分两种情况：
①将△AOB绕点O逆时针旋转150°得到△A′OB′，如图1，
此时OA在x轴上，则A′的坐标为（-2，0），
②将△AOB绕点O顺时针旋转150°得到△A′OB′，如图2，
过A′作A′D⊥x轴于D，
∵∠AOC=30°，∠AOA′=150°，
∴∠A′OC=150°-30°=120°，
∴∠A′OD=60°，
在Rt△A′OD中，∠DA′O=30°，A′O=2，
∴OD=1，A′D=$\sqrt{3}$，
∴A′的坐标为（-1，-$\sqrt{3}$），
则点A的对应点A′的坐标为：（-2，0）或（-1，-$\sqrt{3}$）；
故答案为：（-2，0）或（-1，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转角的度数判断出点A′的位置，注意构建直角三角形，同时还要分情况讨论求解．