Question

20．阅读下列材料：
因为$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…$\frac{1}{17×19}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）所以$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{17×19}$=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{19}$）=$\frac{9}{19}$，解答下列问题：
（1）在和式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…中第6项为$\frac{1}{11×13}$，第n项为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；
（2）受此启发，请你解下面的方程．
$\frac{1}{x（x+3）}$+$\frac{1}{（x+3）（x+6）}$+$\frac{1}{（x+6）（x+9）}$=$\frac{3}{2x+18}$．

Answer 1

分析 （1）根据两连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半可得；
（2）利用以上规律化简原分式方程得$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+9}$=$\frac{3}{x+9}$，再根据解分式方程的步骤解答可得．

解答 解：（1）由题意知，在和式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…中第6项为$\frac{1}{11×13}$，第n项为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
故答案为：$\frac{1}{11×13}$，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；

（2）原方程可整理为：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+6}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x+6}$-$\frac{1}{x+9}$）=$\frac{3}{2x+18}$，
$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+3}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+6}$+$\frac{1}{x+6}$-$\frac{1}{x+9}$）=$\frac{3}{2x+18}$，
$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+9}$）=$\frac{3}{2（x+9）}$，
$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+9}$=$\frac{3}{x+9}$，
两边都乘以x（x+9），得：x+9-x=3x，
解得：x=3，
经检验：x=3是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=3．

点评 本题主要考查数字的变化规律和解分式方程，根据题意得出规律：两连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半，并利用此规律将原分式方程化简是解题的关键．