Question

9．“回文”是指正反都能读的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏如“我为人人，人人为我”等，在数学上也有这样一类数字有这样特征，成为回文数，例如11、363、4774等一个个回文数，如果它还是某个数的平方，这样的数字叫平方回文数．例如121，根据内容试着解决下列问题：
（1）100以上至1000以内的平方回文数只有3个，另外两个是484和676．
（2）我们发现四位的回文数有个特点，就是它决不会是一个质数，那11会不会是它一个因数？请说明理由．
（3）有一个24小时制的数字钟显的范围是00：00到23：59．请问在这一天之中有多少次钟面显示的数字是回文数？（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）依次计算11的平方、12的平方、…，找到100至1000以内的平方回文数；
（2）设未知数，表示这个回文数，并提取公因数即可；
（3）在这一天之中有16次钟面显示的数字是回文数，按规律依次写出：第一个数从0、1、2写起，注意后两个数要小于60．

解答 解；（1）∵22²=484，26²=676，
∴另外两个平方回文数为：484，676；
故答案为：484和676；
（2）设这个四位回文数的个位和千位都是a，十位和百位都是b，
则这个四位回文数表示为：1000a+100b+10b+a，
=1001a+110b，
=11×（91a+10b），
∴四位的回文数不是质数，且11是它的一个因数；
（3）在这一天之中有16次钟面显示的数字是回文数：
00：00
01：10
02：20
03：30
04：40
05：50
10：01
11：11
12：21
13：31
14：41
15：51
20：02
21：12
22：22
23：32．

点评 本题考查了因式分解的应用和回文数的定义和特点，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，做到不重不漏．