题目内容

已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S₁，满足S₁≤120，且S₁要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S₂）；如此继续构成第三批（其数字之和为S₃）；第四批（其数字之和为S₄）；…直到第N批（其数字之和为S_N）取完所有卡片为止．
（1）判断S₁，S₂，…，S_N的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？
（2）当n=1，2，3，…，N-2时，求证： $数学公式$ ；
（3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11．

（1）解：对于任意满足条件的有限张卡片，满足S₁≥S₂≥…≥S_N；
假设每批取出卡片不多于3张，则这3张卡片上的数之和不大于90，而剩下的每个数不大于30，
由已知条件知，应该选4张，与假设矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片数为4张．

（2）证明：当取出第n批后，因为n=1，2，3，…，N-2，此时第n+1批卡片还没取完，
此时余下的每个数必大于120-S_n+1，余下数之和更大于120-S_n+1，
即1080-（S₁+S₂+…+S_n+1）＞120-S_n+1，
由此可得S₁+S₂+…+S_n＜960，
因为nS_n≤S₁+S₂+…+S_n，从而 $\text{[math]}$ ；

（3）证明：假设N＞11，即第11批卡片取走后，还有卡片没被分完，由已知可知余下的每个数都大于120-S₁₁，
且120-S₁₁≥120-S₁₀，故余下的每个数 $\text{[math]}$ ，
因为第11组卡片中至少含有4张，所以第11组卡片上的所有数之和S₁₁大于24×4=96，从而S₁₀≥S₁₁＞96，
这与（2）中的S₁₀＜96矛盾，所以N≤11．
分析：（1）因为先取数字之和要尽可能地大，剩下的数都不大于前面取出的数，由此解答即可；
（2）求出取出第n批后，第n+1批卡片还没取完，此时余下的每个数必大于120-S_n+1，余下数之和更大于120-S_n+1，再利用所有卡片上数的和为1080列出不等式解答即可；
（3）利用反证法法，结合（2）的结论，两种情况矛盾，解决问题．
点评：此题考查数的推理与论证以及利用反证法证明问题的结论．