Question

12．如图，⊙P过O、A（0，4）、C（2，0），半径PB⊥PA，双曲线$y=\frac{k}{x}$恰好经过B点，则k=（　　）

• A． -1
• B． -1.5
• C． -2
• D． -2.5

Answer 1

分析 设B的坐标为（x，$\frac{k}{x}$），根据点O、A、C的坐标得出圆心P的坐标，和PA的长，证明△ANP≌△PGB，得到BG的长，求出点B的横坐标，求出GM的长，得到点B的纵坐标，即可求出k的值．

解答 解：过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，过点B作BG⊥PM于点G，
设B（x，$\frac{k}{x}$），结合题意，
∵O（0，0）、A（0，4）、C（2，0），
∴P（1，2），
∴PA=$\sqrt{5}$，
∵∠APB=∠NPG=90°，
∴∠APN=∠BPG，
在△ANP和△PGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APN=∠BPG}\\{∠ANP=∠BGP}\\{PN=PG}\end{array}\right.$，
∴△ANP≌△PGB，
∴BG=AN=2，
∴BG-PN=2-1=1，
∴点B的横坐标为：-1，
∴PG=PN=1，
∴GM=2-1=1，
∴点B（-1，1），
∴k=-1．
故选：A．

点评 本题考查的是反比例函数知识的综合运用，根据题意和三角形全等的判断定理证△ANP≌△PGB是解题的关键．