Question

8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH丄AB于H，交AO于G，连接0H．
（1）求证：AG•GO=HG•GD；
（2）若∠ABC=120°，AB=6，求OG的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AC⊥BD，由于DH⊥AB于H，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH∽△DGO，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{DG}=\frac{HG}{OG}$，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到∠DAB=60°，AB=AD=6，得到△ABD是等边三角形，根据菱形的性质得到AC⊥DB，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，得到∠ODG=30°，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH⊥AB于H，
∴∠DHA=∠DOG=90°，
∵∠AGH=∠DGO，
∴△AGH∽△DGO，
∴$\frac{AG}{DG}=\frac{HG}{OG}$，
∴AG•GO=HG•GD；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，AB=AD=6，
∴△ABD是等边三角形，
∵AC⊥DB，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，
∵DH⊥AB，
∴∠ODG=30°，
∴OG=OD•tan30°=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟记个性质定理是解题的关键．