Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（-2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；
（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．

Answer 1

分析 （1）根据B，C两点在抛物线y=ax²+bx+2上，代入抛物线得到方程组，求出a，b的值，即可解答；
（2）先求出直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，设F点的坐标为（x，$-\frac{1}{2}$x+2），则D点的坐标为（x，$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$），根据G点与D点关于F点对称，所以G点的坐标为（x，$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2$），若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切，分两种情况解答：①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE；②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE；
（3）M点的横坐标为2±2$\sqrt{2}$，N点的横坐标为$\frac{8}{3}$±2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵B，C两点在抛物线y=ax²+bx+2上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+2=0}\\{4a-2b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴所求的抛物线为：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$．

（2）抛物线y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$，则点A的坐标为（0，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设F点的坐标为（x，$-\frac{1}{2}$x+2），则D点的坐标为（x，$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2$），
∵G点与D点关于F点对称，
∴G点的坐标为（x，$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2$），
若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切，
①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE，
即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2-（$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2$）=$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2$，
解得：x=$\frac{2}{3}$，x=4（舍去）；
②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE，
即$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2-（\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2）=x$
解得：x=2，x=0（舍去）．
综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，G点的横坐标为2或$\frac{2}{3}$．
（3）M点的横坐标为2±2$\sqrt{2}$，N点的横坐标为$\frac{8}{3}$±2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，难度较大，注意分类讨论思想的应用．