题目内容
18．
如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），其中x1，x2为方程x2-2x-8=0的两个根．（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，设Q（x，0）△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
（3）点M的坐标为（2，0），问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
分析 （1）首先利用方程求出图象与x轴交点坐标，进而将C点坐标代入求出a的值即可；
（2）作EH⊥AB于点H，可得EH∥CO，根据QE∥AC，可得出比例关系，代入求出EH的长度，求出S△CQE，得出关系式，并求最大值；
（3）存在．利用待定系数法求出AC的解析式，设F（x，-x+4），表示出OM、MF、OF的长度，要使△OMF是等腰三角形有三种情况：①OF=FM时，②OM=OF=2时，③OM=MF时，分别求出点F的坐标．
解答 解：（1）解方程x2-2x-8=0得：x1=4，x2=-2，
∴A（4，0）、B（-2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），
将C（0，4）代入，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+x+4；
（2）由Q（x，0），可得BQ=x+2，AQ=4-x，
作EH⊥AB于点H，
∵EH∥CO，
∴$\frac{EH}{CO}$=$\frac{BE}{BC}$，
又∵QE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{EH}{CO}$=$\frac{BQ}{BA}$，
即$\frac{EH}{4}$=$\frac{x+2}{6}$，所以EF=$\frac{2}{3}$（x+2），
∵S△CQE=S△CBQ-S△EBQ=$\frac{1}{2}$（x+2）×4-$\frac{1}{2}$（x+2）×$\frac{2}{3}$（x+2），
即y关于x的函数关系式为y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x-1）2+3（-2＜x＜4），
∴△CQE的面积的最大值为3；
（3）存在．理由如下：
设AC的解析式为：y=kx+b，
∵AC过A（4，0）和C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}4k+b=0\\ b=4\end{array}\right.$，
则AC的解析式为：y=-x+4，
∵F在AC上，设F（x，-x+4），
∴OF=$\sqrt{{x}^{2}+（-x+4）^{2}}$，MF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（-x+4）^{2}}$，OM=2，
若△OMF是等腰三角形可能有三种情况：
①OF=FM时，F的横坐标应为1，F（1，3）…（11分）
②OM=OF=2时，$\sqrt{{x}^{2}+（-x+4）^{2}}$=2，
化简得：x2-4x+6=0
∵△=-8＜0
∴这种情况不存在；
③OM=MF=2$\sqrt{（x-2）^{2}+（-x+4）^{2}}$=2，
化简得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4（舍去）
∴F（2，2），
综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F（1，3）或（2，2）．
点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了解二元一次方程、待定系数法求函数解析式、比例的性质、等腰三角形的判定和性质以及球求二次函数最值等知识点，解答第（3）问时，一定要注意分情况讨论等腰三角形的腰长，以免漏解，本题综合性较强，难度较大．
如图，点A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，S?ABCD=4，则下列点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）图象上的是（ ）| A． | （-2，4） | B． | （-4，1） | C． | （-3，2） | D． | （-2，1） |
如图，矩形ABCD中，F为CD边上一点，AF=AB，BE⊥AF，EH⊥CD垂足分别为点E、H．| A． | 8m/s | B． | 11.1m/s | C． | 12.7m/s | D． | 10.35m/s |
已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．