Question

8．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB=5，AC=3，求∠BAD的度数与AD的长．

Answer 1

分析 只要证明△ADE是等边三角形，即可推出∠EAD=60°，AD=AE，推出∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°，推出AD=AE=AC+CE=AC+AB=3+5=8．

解答 解：∵△ABD≌△ECD，
∴AD=DE，∠BDA=∠DCE，
∴∠BDC=∠ADE=60°，∠ABD=∠ECD，
∵∠BAC=120°，∠BDC=60°，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E共线，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，AD=AE，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°，
∴AD=AE=AC+CE=AC+AB=3+5=8．

点评 本题考查旋转变换、等边三角形的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是充分利用旋转不变性解决问题，本题的突破点是证明A、C、E共线，△AED是等边三角形即可．