Question

3．两面镜OA、OB如图放置，OA=OB=10cm，点P是$\widehat{AB}$上，PM为入射光线，且PM∥OB．
（1）若光线PM经镜面OA反射后射到镜面OB上的点Q，且经镜面OB反射后原路返回，求∠AOB的度数；
（2）在（1）条件下，若$\widehat{AP}$的度数等于15°，求光线从点P射入到返回到点P的总路径的长．

Answer 1

分析 （1）根据平面镜反射得到∠BQM=90°，根据平行线的性质，即可得到∠PMQ=90°，进而得出∠OMQ=∠AMP=45°，再根据PM∥OB，即可得到结论；
（2）根据弧长计算公式，即可得到PM的长，再根据△OMQ是等腰直角三角形，即可得到QM的长，进而得到光线从点P射入到返回到点P的总路径的长．

解答 解：（1）∵光线PM经镜面OA反射后射到镜面OB上的点Q，且经镜面OB反射后原路返回，
∴∠BQM=90°，
又∵PM∥OB，
∴∠PMQ=90°，
∴∠OMQ=∠AMP=45°，
∵PM∥OB，
∴∠AOB=∠AMP=45°；

（2）∵OA=OB=10cm，∠AOB=45°，
∴$\widehat{AB}$=$\frac{45×π×10}{180}$=$\frac{5}{2}π$，
∵$\widehat{AP}$的度数等于15°，
∴$\widehat{AP}$=$\frac{1}{3}$$\widehat{AB}$=$\frac{5}{6}π$，
即$\frac{45×π×PM}{180}$=$\frac{5}{6}π$，
∴PM=$\frac{10}{3}$=AM，
∴OM=OA-AM=10-$\frac{10}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴QM=OM×sin45°=$\frac{10}{3}\sqrt{2}$，
∴光线从点P射入到返回到点P的总路径的长为2（$\frac{10}{3}$+$\frac{10}{3}\sqrt{2}$）=$\frac{20}{3}+\frac{20}{3}\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了平行线的性质以及弧长计算公式，解题时注意：两直线平行，同位角相等．