如图(1).△ABO与△A′B′O′均为等边三角形.点A′.B′分别在线段OB.OA上.△ABO固定不动.△A′B′O绕O点顺时针旋转∠α.过A′.A点分别作OA.OA′的平行线交于O′点．.当0≤α≤60°时.若∠AO′A′=45°.则旋转角α=15°,.当60°≤α≤180°时.若OO′=AA′.则旋转角α=150°,当△AB′O′旋转时.∠AO′A′与旋转角α的关系为α-60°.在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图（1），△ABO与△A′B′O′均为等边三角形，点A′、B′分别在线段OB、OA上，△ABO固定不动，△A′B′O绕O点顺时针旋转∠α（0≤α≤180°），过A′、A点分别作OA、OA′的平行线交于O′点．
（1）如图（2），当0≤α≤60°时，若∠AO′A′=45°，则旋转角α=15°；
（2）如图（3），当60°≤α≤180°时，若OO′=AA′，则旋转角α=150°；
当△AB′O′旋转时，∠AO′A′与旋转角α的关系为α-60°
（3）如图（4），在△A′B′O旋转过程中，连O′B、OB，试判定∠BO′B′随旋转角α的变化情况，并证明．

分析（1）先判断出四边形AOA'O'是平行四边形，再根据旋转直接求出α；
（2）同（1）的方法即可，利用平行四边形的性质得出∠AO'A'．
（3）根据四边形的内角和和三角形的内角和代换求出∠BO'B'．

解答解：（1）∵过A′、A点分别作OA、OA′的平行线交于O′点．
∴四边形AOA'O'是平行四边形，
∴∠A'OA=∠AO'A'=45°，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴α=∠A'OB=∠AOB-∠AOA'=60°-45°=15°，
故答案为15°；
（2）由（1）知，四边形AOA'O'是平行四边形，
∵OO′=AA′，
∴四边形AOA'O'是矩形，
∴∠AOA'=90°，
∴α=∠AOB+∠AOA'=60°+90°=150°，
∵四边形AOA'O'是平行四边形，
∴∠AOA'=∠AO'AO，
∵∠BOA'=∠AOB+∠AOA'
∴∠AO'A'=∠BOA'-∠AOB=α-60°，
故答案为150°，α-60°；
（3）无论旋转角α为多少，∠BO'B'是定值60°即：∠BO'B'不变．
当60°＜α＜180°时，
∵四边形AOA'O'是平行四边形，
∴∠OAO'=∠OA'O'，AO'=A'O
∵∠BOA=∠OA'B'=60°，
∴∠BAO'=∠O'A'B'
由旋转得，AB=O'A'
∴△ABO'≌△A'O'B'，
∴∠ABO'=∠A'O'B'，∠AO'B=A'B'O'，
∵∠ABO'+∠A'O'A
=180°-∠BAO'
=180°-（360°-∠OAB-∠A'AO'）
=180°-[360°-60°-（180°-∠AOA'）]
=180°-[360°-60°-（180°-∠AOA'）]
=60°-∠AOA'
∴∠AO'B+∠A'O'B'=60°-∠AOA'
∴∠BO′B=∠AO'B+∠AO'A'+∠A'O'B'=60°-∠AOA'+∠AO'A'=60°，
当0＜α＜60°时，同上的方法得出∠BO′B=60°，
即：∠BO'B'不随α的变化而变化，是个定值．