Question

4．已知方程kx²-（2k+1）x-3=0．
（1）若方程在（-1，1）和（1，3）内各有一个实根，求实数k的取值范围；
（2）若方程有一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的取值范围；
（3）若方程在（-1，1）内有两个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 令y=kx²-（2k+1）x-3，根据方程有两个不相等的实数根可得出k≠0．
（1）分别带入x=-1、1、3求出y值，根据方程在（-1，1）和（1，3）内各有一个实根，可得出关于k的一元二次不等式组，解不等式组即可得出k的取值范围；
（2）带入x=1求出y值，根据方程有一个根小于1、另一个根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围；
（3）分别带入x=-1、1求出y值，根据方程在（-1，1）内有两个实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式组，解不等式组即可得出k的取值范围．

解答 解：令y=kx²-（2k+1）x-3，
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0有两个实数根，
∴k≠0．
（1）当x=-1时，y=k-（2k+1）×（-1）-3=3k-2；
当x=1时，y=k-（2k+1）-3=-k-4；
当x=3时，y=9k-3（2k+1）-3=3k．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）和（1，3）内各有一个实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（3k-2）（-k-4）＜0}\\{（-k-4）•3k＜0}\end{array}\right.$，解得：k＜-4或k＞$\frac{2}{3}$．
∴若方程在（-1，1）和（1，3）内各有一个实根，实数k的取值范围为k＜-4或k＞$\frac{2}{3}$．
（2）当x=1时，y=k-（2k+1）-3=-k-4．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0有一个根小于1，另一个根大于1，
∴k与-k-4的符号相反．
当k＞0时，-k-4＜0，
解得：k＞-4，
此时k＞0；
当k＜0时，-k-4＞0，
解得：k＜-4，
此时k＜-4．
综上可知：若方程有一个根小于1，另一个根大于1，实数k的取值范围为k＞0或k＜-4．
（3）当x=-1时，y=k-（2k+1）×（-1）-3=3k-2；
当x=1时，y=k-（2k+1）-3=-k-4．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）内有两个实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（2k+1）]^{2}-4k•（-3）≥0}\\{-1＜\frac{2k+1}{2k}＜1}\\{（3k-2）（-k-4）＞0}\end{array}\right.$，解得：-4＜k≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$．
∴若方程在（-1，1）内有两个实数根，实数k的取值范围为-4＜k≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的分布、解一元一次不等式以及解一元二次不等式组，解题的关键是：（1）找出关于k的一元二次不等式组；（2）找出关于k的一元一次不等式；（3）找出关于k的一元二次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一元二次方程根的分布找出不等式（或不等式组）是关键．